Question

若αβ是方程x²-3x-2=0的两个根，求代数式α³+3β²+2β的值

Answer 1

αβ是方程x²-3x-2=0的两个根
所以α²－3α－2=0，则有α³＝3α²＋2α
则原式=3（α²＋β²）＋2﹙α＋β﹚=3[（α＋β﹚²－2αβ]＋2﹙α＋β﹚
=3×(3²＋2×2)+2×3=45
请采纳答案，支持我一下。

追问

不好意思确认晚了(๑´ڡ`๑)

Answer 2

α+β=3,αβ=-2
(α-β)²=(α+β)²-4αβ=9+8=17√

α-β=√17或α-β=－√17
设α³+3β²+2β＝A........(1))
β³+3α²+2α＝B............(2)

(1)+(2)得
A+B=α³+β³+3(α²+β²)+2(α+β).......(3)
A+B=(α+β)³-3αβ(α+β)+3(α+β)²-6αβ+2(α+β).=27+3*2*3+27+12+6=90
(1)-(2)得
A-B=α³-β³+3(β²-α²)+2(β-α).......(4)
A-B=α³-β³+3(β²-α²)+2(β-α).=(α-β)[(α+β)²-2αβ]-3(α-β)(α+β)-2(α-β)
A-B=(α-β)[(α+β)²-2αβ-3(α+β)-2]=(α-β)[9+4-9-2]=2(α-β)
A-B＝2√17或A-B＝－2√17
由A+B=90，A-B＝2√17，或A-B＝－2√17得
A=45+√17或A=45-√17