Question

级数敛散性问题

如图,级数的敛散性,可对x讨论.

Answer 1

当 x=1 时, 级数的各项均为0，显然收敛 。
当 x＞1时，级数的一般项极限为 0 ，初步判断级数有可能收敛。为了进一步判断级数的敛散性利用比较判别法：将该级数与调和级数进行比较可知 lim [x^(1/t）-1]/(1/t) = lnx 。 lnx ＞ 0 ，所以 x＞1 时级数与调和级数敛散性相同，是发散的。
当 x＜1时，级数的一般项极限为 0 ，初步判断级数有可能收敛。由于级数的一般项为负值，为了方便计算我们将级数各项提取负号得 ∑[x^(1/t）- 1] = -∑[1- x^(1/t）] 。对新的级数与调和级数利用比较判别法： lim [1 - x^(1/t）]/(1/t) = -lnx 。 -lnx ＞ 0 ，所以 x＜1 时新级数与调和级数敛散性相同，于是可知原级数是发散的。

Answer 2

1. 若x=1, 原级数为0，显然收敛
2. 若x不为1，则通项a_t=e^{lnx/t}-1, 注意到当t趋于无穷时, a_t/(lnx/t)的极限为1，所以原级数与调和级数有相同的敛散性，因此原级数发散。

Answer 3

n>=2时
对积分里面的函数求导可以得到0<x<1/n
积分里面的函数是递增的
所以
这个级数的通项从n>=2开始
都是小于（0,1/n）间的最大值乘以积分区间长度
也就是1/n
*
(根号下1/n)
/
(1+
(1/n)^2)
这个通项小于
1/
n^1.5
而级数∑1/n^1.5
是收敛的，根据比较判别法，图中的级数因为通项除了n=1的情况（由于技术的敛散性与开头的有限项无关，所以可以不用考虑n=1），n>=2时每一项都小于1/n^1.5
而后者组成的级数收敛，这些都是正项级数，根据正项级数的比较判别法，所给的级数收敛。
如果对正项级数的比较判别法（貌似就是Weierstrass判别法）不熟悉的话自己去好好看看书

Answer 4

选：a