Question

证明:若{fn(x)}是定义在r上的一列函数,令e={x:limfn(x)=+无穷},则e=

Answer 1

任意k属于实数，存在一个正整数N，任意的n大于等于N 使得fn（x）大于k

设{fn(x)}是可测集E上非负可测函数列，若

（1）fn(x)<=f(n+1)(x)，n=1,2,...

（2）在E上几乎处处有lim(n->∞)fn(x)=f(x)

则∫(E)f(x)dx=lim(n->∞)∫(E)fn(x)dx

证明Lebesgue基本定理：

令fn(x)=∑(m=1->n)fm(x)

因为{fm(x)}是可测集E上非负可测函数列

所以∑(m=1->n)fm(x)<=∑(m=1->n)fm(x)+f(n+1)(x)=∑(m=1->n+1)fm(x)

即fn(x)<=f(n+1)(x)

又因为lim(n->∞)fn(x)=lim(n->∞)∑(m=1->n)fm(x)=∑(m=1->∞)fm(x)=f(x)

所以根据Levi定理，∫(E)f(x)dx=lim(n->∞)∫(E)fn(x)dx=∑(m=1->∞)∫(E)fm(x)

函数的定义本质

是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。

假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

任意k属于实数，存在一个正整数N，任意的n大于等于N 使得fn（x）大于k

Answer 3

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