Question

△ABC中，∠BAC=∠ACB． （1）如图，E是AB延长线上一点，连接CE，∠BEC的平分线交BC于点D，交AC于点P．

求证：∠CPD=90°减二分之一∠BCE
（2）若E是射线BA上一点（E不与A、B重合），连接CE，∠BEC的平分线所在直线交BC于点D，交CA所在直线于点P．∠CPD与∠BCE有什么关系？请画出图形，给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵EP平分∠BEC，
∴∠BEP=∠CEP．△ACE中，∠A+∠ACE+∠AEC=180°，
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE，且∠A=∠ACB，
∴2∠A+2∠BEP+∠BCE=180°，
∴2（∠A+∠BEP）+∠BCE=180°，
∵∠CPD=∠A+∠BEP，
∴2∠CPD+∠BCE=180°，
∴∠CPD=90°-1/2∠BCE；
（2）结论：∠CPD=1/2∠BCE，
理由如下：解：设∠CAB=∠ACB=α，
∵ED平分∠BEC，∴∠BED=∠CED，
设∠BED=∠CED=β，
则∠CEB=2β，
分两种情况：i）若点E在BA上（E不与A、B重合，
如图，∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，
∴∠ACE=α-（2α-2β）=2β-α，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=α-（2β-α）=2α-2β，
∵∠CPD=∠CED-∠ACE，
∴∠CPD=β-（2β-α）=α-β，
∴∠CPD=1/2∠BCE；
ii）若E在BA的延长线上，
如图，∵∠ACE=∠CAB-∠CEB，
∴∠ACE=α-2β，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=α+（α-2β）=2α-2β，
∵∠CPD=∠ACE+∠CEP，
∴∠CPD=α-2β+β=α-β，
∴∠CPD=1/2∠BCE，
综上，可知∠CPD=1/2∠BCE。    

参考资料http://www.mofangge.com/html/qDetail/02/c1/201206/b9quc102193666.html