Question

一个定积分应用求体积的问题

我对答案中给的式子不太明白
在题中是绕y=3旋转，dv=PI * r^2 * dx
在这里既然是绕y=3旋转R不是应该等于3-y么？

例如在[0 ,1]区间内 y = 3 - (1 - x^2) = 2 + x^2
r = 3 - y = 3 - 2 - x^2 = 1 - x^2
被积函数不就应该是 PI * (1 - x^2)^2 = PI * ( 1 - 2x^2 + x^4 ) 这个样子么？
为什么是题中那个被积函数呢？实在不理解，求指教

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Answer 1

因为那个晌扒切面是个环形，而不是一个圆形，所以[0,1]之间的被积函数是一个环形的面积，应该是（R^2-r^2）*Pi,这里的R=3.

画个图

红线是y=3,绕红线旋转，[0,1]之间选择出来当然是个空心的部分，所以切空掘面是环形。斗谨核

这里算体积就算[0,1]是一块，[1,2]是一块，再乘以2就行了。答案就能看懂了吧