Question

已知函数f（x）=sin（x+θ） +acos（x+2θ） π 2 ） （1）当a= 2 ，

已知函数f（x）=sin（x+θ）

+acos（x+2θ）

π 2 ）

（1）当a= 2 ，θ= π 4 时，求f（x）在区间

[0，π]上的最大值与最小值；

（2）若f（ π 2 ）=0，f（π）=1，求a，θ的

值．

Answer 1

第一问：

f(x) = sin(x+θ) + acos(x+2θ)
a=√2，θ=π/4时：
f(x) = sin(x+π/4)+√2cos(x+π/2)
= √2/2sinx+√2/2cosx-√2cosx
= √2/2sinx -√2/2cosx
= sin(x-π/4)
x∈【0，π】
x-π/4∈【-π/4，3π/4】
x-π/4=π/2时，f(x)取最大值，f(x)max = sin(π/2)=1
x-π/4=-π/4时，f(x)取最小值，f(x)min = sin(-π/4)=-√2/2

第二问：

f(π/2)=0，即：
sin(π/2+θ) + acos(π/2+2θ) = cosθ-asin(2θ) = cosθ-2asinθcosθ = cosθ(1-2asinθ)=0
θ∈（-π/2，π/2），∴cosθ＞0
∴1-2asinθ=0
∴sinθ=1/(2a)

f(π)=1，即：
sin(π+θ) + acos(π+2θ) = -sinθ-acos2θ = -sinθ - a(1-2sin²θ) = 1
∴-1/(2a) - a [1-2/(4a²)] = 1
∴-1/(2a) - a + 1/(2a)] = -a = 1
∴a = -1

sinθ = 1/(2a) = -1/2
θ∈（-π/2，π/2）
∴θ = -π/6