Question

设函数f(x)=x^2-(a-2)x-alnx (1)求函数的单调区间（2）若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a

设函数f(x)=x^2-(a-2)x-alnx (1)求函数的单调区间（2）若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a

Answer 1

(1）f(x)=x^2-(a-2)x-alnx，f'(x)=2x-(a-2)-a/x
函数及导函数定义域为x>0
令f'(x)=0，可得 2x-(a-2)-a/x=0
即 2x^2-(a-2)x-a=(2x-a)(x+1)=0
∵x+1>0，∴函数极值点为x=a/2

若a/2≤0，即a≤0，则f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数
若a/2≥0，即a≥0，则f(x)在(0,a/2]上为单调减函数，在[a/2,+∞)上为单调增函数

（2）此函数在(0,+∞)上只有一个极值点，故在(0,+∞)是最多有2个零点
因函数在[a/2,+∞)上为增函数，故x=a/2为极小值点
当刚好有一个零点时，极小值必为零点，则有
f(a/2)=(a/2)^2-(a-2)*(a/2)-aln(a/2)=0
=(a/2)*[-a/2+2-2ln(a/2)]=0
这个方程解出来约为a=2.74 （超越方程，数值解）
由极小值的表达式可知，随a增大，极小值减小
故当a≥2.74时，函数有两个零点
满足条件的最小正整数a=3