Question

已知函数f(x)=x²-alnx+⑴求单调区间+⑵若f(x)有两个不同的零点,求a的取值+

Answer 1

（1）f(x)=x^2-alnx，定义域x>0
f'(x)=2x-a/x=(2x^2-a)/x
若a<=0，则f'(x)在x>0上恒大于0，则f(x)在x>0上单调递增
若a>0，则f'(x)在0<x<√(a/2)上小于0，在x>√(a/2)上大于0
即f(x)在0<x<√(a/2)上单调递减，在x>√(a/2)上单调递增
（2）因为f(x)有两个不同的零点，所以a>0，否则f(x)在x>0上单调递增，至多只有一个零点
因为f(x)在0<x<√(a/2)上单调递减，在x>√(a/2)上单调递增
所以f(x)在x=√(a/2)上取到最小值
又因为lim(x->0+)f(x)=lim(x->+∞)f(x)=+∞，
所以要使f(x)有两个不同的零点，f(x)的最小值必须<0
f(√(a/2))=a/2-aln√(a/2)<0
a/2-(a/2)*ln(a/2)<0
1-ln(a/2)<0
ln(a/2)>1
a/2>e
a>2e