Question

已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-（√2）cos2x-1, x∈R 1.求f(x)最小值

已知函数f(x)=2sin²(π/4+x)-（√2）cos2x-1, x∈R
1.求f(x)最小值
2.设p:x∈[π/4,π/2],q:|f(x)-m|<3，若p是q的充分条件，求实数m取值范围
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Answer 1

解：
(1)
f(x)=2sin²(π/4+x)-（√2）cos2x-1
=2*(1-cos²(π/4+x))-（√2）cos2x-1
=2[1-(cos(π/2+2x)+1)/2]-（√2）cos2x-1
=1+sin(2x)-（√2）cos2x-1
=sin(2x)-（√2）cos2x
=√3[(1/√3)sin(2x)-（√2/√3）cos2x]∈[-√3,√3]
最小值为-√3
（2）
由题目，即要p是q的子集
由q得-3+m<f(x)<3+m,
f(x)=sin(2x)-（√2）cos2x=√3sin(2x-a)
(其中,sin(a)=√2/√3,cos(a)=1/√3,0<a<π/2)
当x∈[π/4,π/2]，(2x-a)∈[π/2-a,π-a]
由于sin(a)=√2/√3>sinπ/4，所以π/4<a<π/2
所以当(2x-a)=π/2时,f(x)取最大值√3
当(2x-a)=π/2-a时，即x=π/4时，f(x)取最小值1
所以在x∈[π/4,π/2]时，f(x)∈[1,√3]
要使p是q的子集,只需3+m≥√3,且-3+m≤1
得m∈[√3-3,4]