Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线；（2

已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，AB=6，求BC的值．

Answer 1

（1）证明见解析;（2）BC=6 ．

试题分析：（1）利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C和∠B=∠OPB，则∠OPB=∠C，于是可判断OP∥AC，由于PD⊥AC，所以OP⊥PD，然后根据切线的判定定理可得到PD是⊙O的切线； （2）由AB为直径得∠APB=90°，根据等腰三角形的性质得BP=CP，所以∠BAP=60°，在RtBAP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AP= AB=3，BP= AP=3 ，所以BC=2BP=6 ． 试题解析：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OP=OB， ∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C， ∴OP∥AC， ∵PD⊥AC， ∴OP⊥PD， ∴PD是⊙O的切线； （2）解：连结AP，如图， ∵AB为直径， ∴∠APB=90°， ∴BP=CP， ∵∠CAB=120°， ∴∠BAP=60°， 在RtBAP中，AB=6，∠B=30°， ∴AP= AB=3， ∴BP= AP=3 ， ∴BC=2BP=6 ．