Question

阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（

阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x2，（1-x）（1+x+x2）=1-x3，（1-x）（1+x+x2+x3）=1-x4…（1）填空：（1-x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1-x8．（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x2+…+xn）=______．②（x-1）（x10+x9+…+x+1）=______．（3）根据你的猜想，计算：①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=______．②1+2+22+23+24+…+22007=______．

Answer 1

（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的明手散最大指激氏数，且左边相当于对右边的因式分解，
所以得出规律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
即：（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸，空白处应填：（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）．

（2）由（1）得出的规律可得：
①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，空白处应填：1-xⁿ⁺¹
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x¹¹）=x¹¹-1，空白处应填：x¹¹-1．

（薯庆3）由（1）得出的规律可得
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶，空白处应填1-2⁶；
②由（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=1-2²⁰⁰⁸得
1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1，空白处应填2²⁰⁰⁸-1．