已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）
已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l...
已知圆C的圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E、F两点，且使三角形S△OEF=22（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，若不存在用计算过程说明理由．
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（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
与直线y=-4x联立，解得圆心为（1，-4），…（2分）
所以半径r＝
＝2
所以所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，
∴
?a＝1，b＝0，∴N（1，0）…（5分）
注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．
（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，
代人圆方程得y=-4±2
，
所以|EF|＝4
，所以S△OEF＝
×1×4
＝2
满足题意，
此时方程为x=1．…（8分）
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-1），即kx-y-k=0
圆心C（1，-4）到直线l的距离d＝
＝
，…（9分）
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE＝
＝
＝
所以EF＝
，…（10分）
而原点到直线的距离为d1＝
与直线y=-4x联立，解得圆心为（1，-4），…（2分）
所以半径r＝
| (3?1)2+(?2+4)2 |
| 2 |
所以所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8．…（4分）
（Ⅱ）设N（a，b），∵点M（0，1）与点N关于直线x-y=0对称，
∴
|
注意：若没证明，直接得出结果N（1，0），不扣分．
（1）当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，
原点到直线的距离为d=1，同时令x=1，
代人圆方程得y=-4±2
| 2 |
所以|EF|＝4
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
此时方程为x=1．…（8分）
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-1），即kx-y-k=0
圆心C（1，-4）到直线l的距离d＝
| |k+4?k| | ||
|
| 4 | ||
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设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE＝
| 8?d2 |
8?
|
2
| ||||
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所以EF＝
4
| ||||
|
而原点到直线的距离为d1＝
| |k| | ||
|
