Question

已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述

已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）探索：在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）将A坐标代入y=ax中，得：2=3a，即a= 2 3 ， ∴正比例函数解析式为y= 2 3 x， 将A坐标代入y= k x 中，得：2= k 3 ，即k=6， ∴反比例函数解析式为y= 6 k ； （2）将两函数解析式联立得： y= 6 x y= 2 3 x ， 解得： x=3 y=2 或 x=-3 y=-2 ， ∴A（3，2），B（-3，-2）， 由函数图象得：当x＜-3或0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值； （3）在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，如图所示： 以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P 1 与P 2 两点，此时△OAP 1 与△OAP 2 都为等腰三角形， ∵A（3，2），∴OA= 3 2 + 2 2 = 13 ， ∴P 1 （- 13 ，0）， 过A作AC⊥x轴， ∵OA=AP 2 ，∴OC=CP 2 =3， ∴P 2 （6，0）； 作出线段OA的垂直平分线，与x轴交于P 3 ，此时AP 3 =OP 3 ，△OAP 3 为等腰三角形， 设AP 3 =OP 3 =a，则P 3 C=OC-OP 3 =3-a，AC=2， 在Rt△ACP 3 中，根据勾股定理得：a 2 =（3-a） 2 +2 2 ，即6a=13， 解得：a= 13 6 ， ∴P 3 （ 13 6 ，0）， 综上，满足题意的P坐标为（- 13 ，0）或（6，0）或（ 13 6 ，0）．