Question

如图，直角坐标系内的矩形ABCD中顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以

如图，直角坐标系内的矩形ABCD中顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P，与对角线AC相切于点F，过P、F作直线 l ，交BC边上于点E .当点P运动到点P 1 位置时，直线 l 恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1 . （1）求BC、AP 1 的长； （2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）以点E为圆心作⊙E，与x轴相切 .试探究并猜想⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系，并求出AP相应的取值范围.

Answer 1

解：（1）由y=2x+1可知， 当x=0时 ，y=1               ∴ 点B(0，1) ∵点A(0，3)                ∴AB=2 又 BC=2AB ∴ BC=4                ∵点P 1 在直线y=2x+1和AD边上，又AD // x轴 ， ∴可设               则 3=2a+1 即 ∴   ∴AP 1 =1 ； （2）∵AP=m   AD=4    AP 1 =1          ∴PD = 4-m    P 1 P = m-1          又P 1 P//BE，P 1 B//PE，    ∴P 1 PEB是平行四边形.        ∴BE=P 1 P      ∴EC = 4-(m-1) = 5-m              ∴S= [(4-m)+(5-m)]×2 = 9-2m      1≤m<4； （3）当⊙E与x轴及⊙P外切时，EF=1， ∵ △CFE∽△CBA           ∴    ∴ 即EC=          ∴BE=4- 即m-1=4-     ∴m=5-         ∴当m=5- 时， ⊙P与⊙E外切；             当1≤m<5- 时， ⊙P与⊙E外离；             当5- <m<4时， ⊙P与⊙E相交 。