Question

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE∥BC的理由；（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）△DBC和△EAC会全等 证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60° ∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD ∴∠BCD=∠ACE ∵BC=AC，CE=CD ∵△DBC≌△EAC （2）∵△DBC≌△EAC ∴∠EAC=∠B=60° 又∠ACB=60° ∴∠EAC=∠ACB ∴AE∥BC （3）结论：AE∥BC 理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形 ∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60° ∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE 在△DBC和△EAC中，BC=AC ∠BCD=∠ACE，CD=CE ∴△DCBC≌△EAC ∴∠EAC=∠B=60° 又∵∠ACB=60° ∴∠EAC=∠ACB ∴AE∥BC．