Question

在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x 2 +ax+b 2 有零点的概率为______

在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x 2 +ax+b 2 有零点的概率为______．

Answer 1

∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取， ∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系， 可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取， 其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点 若函数f（x）=x 2 +ax+b 2 有零点，则 △=a 2 -4b 2 ≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a-2b=0的下方， 且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S 1 = 1 2 ×4×2 =4 ∵正方形OABC的面积为S=4×4=16 ∴函数f（x）=x 2 +ax+b 2 有零点的概率为P= S 1 S = 4 16 = 1 4 故答案为： 1 4