Question

m、n为整数,且x²+y²=3(m²+n²)，求证：x、y没有正整数解.

本题为初二联赛的题，求解！

Answer 1

证明：
因为一个整数的平方，除以3，余数是0或1。
当这个整数能被三整除的时候，它的平方，除以3，余数是0。
当这个整数能不被三整除的时候，它的平方，除以3，余数是1。
3(m²+n²)可以被3整除。

x²+y²＝3(m²+n²)
x²+y²也可以被3整除。
因为1+1=2，1+0=1，0+0=0。
所以需要x能被3整除, y也能被3整除。
设
x=3p
y=3q
其中p，q都是整数。
那么
x²+y²=3(m²+n²)
m²+n²=3(p²+q²)
这样
p<x
q<y
我们得到了一组更小的解，
由于此过程可以无穷进行，
但是比x,y小的正整数只有有限个。
所以如果有解，那么就矛盾。
这个方法是费马的无穷递降法。
你要认真学习领会。