Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2+y2?4x?2y+52＝0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为

已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆x2+y2?4x?2y+52＝0交于A、B两点，AB恰是该圆的直径，且AB斜长为?12，求此椭圆的方程．

Answer 1

圆（x-2）²+（y-1）²=

5

2

，直径AB=

10

设椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0），
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（2，1）
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
AB斜率为?

1

2

，∴K_AB=

y 1?y 2

x 1?x 2

＝?

1

2

由

x 2 1 a2 + y 2 1 b2 ＝1 x 2 2 a2 + y 2 2 b2 ＝1

?

y 2 1 ? y 2 2

b2

＝?

x 2 1 ? x 2 2

a2

?kAB＝

y1?y2

x1?x2

＝?

b2

a2

?

2

1

＝?

1

2

?a2＝4b2
将直线AB的方程y=-

1

2

x+2，代入椭圆方程得：x²+4y²-4b²=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，
|AB|=

1+k 2

|x₁-x₂|，∴10=（1+

1

4

）²[4²-4（8-2b²）]
解得：a²=12，b²=3，
故椭圆的方程为：

x2

12

+

y2

3

=1．