Question

设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知0≤x1＜x2．求证：ex2?x1＞lne(x2+1

设函数f（x）=ex-ln（x+1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）已知0≤x1＜x2．求证：ex2?x1＞lne(x2+1)x1+1；（Ⅲ）设g（x）=ex-xx+1lnx-f（x），证明：对任意的正实数a，总能找到实数m（a），使g[m（a）]＜a成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=ex?

1

x+1

；
∴-1＜x＜0时，

1

e

＜ex＜1，

1

x+1

＞1，∴f′（x）＜0；
x＞0时，e^x＞1，0＜

1

x+1

＜1，∴f′（x）＞0，∴x=0时，f（x）取到最小值1．
（Ⅱ）由题意知：x₂-x₁＞0；
∴f（x₂-x₁）＞f（0），即e(x2?x1)?ln(x2?x1+1)＞1，即e(x2?x1)＞lne(x2?x1+1)；
∴要使：e(x2?x1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

，我们来证lne(x2?x1+1)＞ln

e(x2+1)

x1+1

；即证x2?x1+1＞

x2+1

x1+1

；
∵x2?x1+1?

x2+1

x1+1

＝

x1(x2?x1)

x1+1

＞0；
∴ex2?x1＞ln

e(x2+1)

x1+1

．
（Ⅲ）∵g（x）=

lnx

x+1

+ln(1+

1

x

)；
令x=2ⁿ，则g（2ⁿ）=

ln2n

2n+1

+ln(1+

1

2n

)，(n∈N*)；
要使：g（2ⁿ）＜a，只要

ln2n

2n

＜

a

2

，且ln(1+

1

2n

)＜

a

2

；
由ln(1+

1

2n

)＜

a

2

，解得n＞?log2(e

a

2

?1)；
又当n＞1时，

ln2n

2n+1

＝

nln2

(1+1)n+1

＜

2nln2

n(n?1)

＝

2ln2

n?1

；
故只需

2ln2

n?1

＜

a

2

，即n＞

4ln2

a

+1；
设n0＝max2，?log2(e

a

2

?1)，

4ln2

a

+1；
只需取m（a）=2n0+1时，g（m（a））＜a．