Question

已知{a n }为等比数列，其前n项和为S n ，且 S n = 2 n +a （n∈N * ）．（1）求a的值及数列{a n

已知{a n }为等比数列，其前n项和为S n ，且 S n = 2 n +a （n∈N * ）．（1）求a的值及数列{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）当n=1时，S 1 =a 1 =2+a≠0．…（1分） 当n≥2时， a n = S n - S n-1 = 2 n-1 ．…（3分） 因为{a n }是等比数列， 所以 a 1 =2+a= 2 1-1 =1 ，即a 1 =1．a=-1．…（5分） 所以数列{a n }的通项公式为 a n = 2 n-1 （n∈N * ）．…（6分） （2）由（1）得 b n =n a n =n? 2 n-1 ，设数列{b n }的前n项和为T n ． 则 T n =1×1+2×2+3× 2 2 +4× 2 3 +…+n? 2 n-1 ．① 2 T n = 1×2+2× 2 2 +3× 2 3 +…+(n-1)? 2 n-1 +n? 2 n ．② ①-②得  - T n =1×1+1×2+1× 2 2 +…+1× 2 n-1 -n? 2 n …（9分） =1+（2+2 2 +…+2 n-1 ）-n?2 n =1-2（1-2 n-1 ）-n?2 n …（11分） =-（n-1）?2 n -1．…（12分） 所以 T n =(n-1)? 2 n +1 ．…（13分）