设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(12)x-1,

设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(12)x-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-l... 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=(12)x-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围为______. 展开
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博学的小鲤3597
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设x∈[0,2],则-x∈[-2,0],∴f(-x)=(
1
2
-x-1=2x-1,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(-x)=2x-1.
∵对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),
∴当x∈[2,4]时,(x-4)∈[-2,0],∴f(x)=f(x-4)=xx-4-1;
当x∈[4,6]时,(x-4)∈[0,2],∴f(x)=f(x-4)=2x-4-1.
∵若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,
∴函数y=f(x)与函数y=loga(x+2)在区间(-2,6]上恰有三个交点,
通过画图可知:恰有三个交点的条件是
loga(6+2)>3
loga(2+2)<3
,解得 2
2
3
<a<2,
34
<a<2,因此所求的a的取值范围为(
34
,2).
故答案为:(
34
,2).
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