Question

（本小题满分14分）设函数f(x)＝ x 2 ＋e x －xe x .(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2

（本小题满分14分）设函数f(x)＝ x 2 ＋e x －xe x .(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

(1)f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)m＜2－e 2 时，不等式f(x)＞m恒成立．

试题分析：(I)直接求导，根据导数大（于）零，解不等式可得函数的单调增（减）区间. (1)函数f(x)的定义域为(－ ∞，＋∞)， ∵f′(x)＝x＋e x －(e x ＋xe x )＝x(1－e x )， 若x＜0，则1－e x ＞0，所以f′(x)＜0； 若x＞0，则1－e x ＜0，所以f′(x)＜0； ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减． ∴[f(x)] min ＝f(2)＝2－e 2 ， ∴m＜2－e 2 时，不等式f(x)＞m恒成立． 点评：导数主要用在研究函数的单调性，极值，最值等方面.要注意极值的判断方法.