Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B-A1

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求三棱锥B-A1B1D的体积．

Answer 1

（1）证明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等可知：AB₁⊥A₁B
如图，取BC的中点E，连接B₁E，则Rt△BCD≌Rt△B₁BE
∴∠BB₁E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB₁=∠BB₁E+∠BEB₁=90°
∴BD⊥B₁E
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC₁B₁
∴AE⊥BD
∵B₁E?平面AEB₁，AE?平面AEB₁，AE∩B₁E=E
∴BD⊥平面AEB₁
∴BD⊥AB₁
∵A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴AB₁⊥平面A₁BD
（2）解：连接B₁D，由AA₁∥平面BCC₁B₁
所以点A₁到平面BCC₁B₁的距离，等于AE=

AB2?BE2

＝

22?12

＝

3

S△BDB1＝

1

2

S正方形BCC1B1＝

1

2

×2×2=2
∴VB?A1B1D＝VA1?BDB1=

1

3

×S△BDB1×AE=

1

3

×2×

3

＝

2 3

3

故三棱锥B-A₁B₁D的体积为