Question

1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．

1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．
（1）求证C1E∥平面A1BD；
（2）求证AB1⊥平面A1BD；
（3）求三棱锥A1-C1DE的体积． 我要第三问，完整过程，答案是更好3/6

Answer 1

1、∵EF是△ABB1中位线，
∴EF//BB1，且EF=BB1/2，
∵C1D=CC1/2，
∴EF=C1D，
∴四边形EFDC1是平行四边形，
∴C1E//DF，
∴DF∈平面A1BD，
∴EC1//平面A1BD。
2、∵棱长都是2，
∴四边形ABB1A1是正方形，
∴A1B⊥AB1，
∵C1E⊥A1E，（等腰△三线合一），
∵BB1⊥平面A1B1C1，
C1E∈平面A1B1C1，
∴EC1⊥BB1，
∵A1B1∩BB1=B1，
∴EC1⊥平面A1B1B，
∵FD//C1E，
∴FD⊥平面A1BB1，
∵AB1∈平面AA1B1B，
∴AB1⊥DF，
∵DF∩A1B=F，
∴A1B⊥平面A1BD，
3、前已述EC1⊥平面A1BB1，
EF∈平面A1B1B，
∴EC1⊥EF，
∴四边形DFEC1是矩形，
S矩形DFCEC1=EF*C1E，
∵△A1B1C1是正△，
∴C1E=√3A1B1/2=√3，
EF=BB1/2=1，
∴S矩形DFCEC1=√3，
S△DEC1=S矩形DFCEC1/2=√3/2，
∵EF//AA1，
AA1⊥A1B1，
∴A1E⊥EF，
A1E⊥EC1，
EC1∩EF=E，
∴A1E⊥平面EFDC1，
∴A1E是三棱锥A1-C1DE的高，
AE=A1B1/2=1，
∴VA1-DEC1=S△DEC1*A1E/3=（√3/2）*1/3=√6/3。