Question

已知函数f（x）=x3-ax2-x+b（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，求a、b的值（2）若f（x）在（

已知函数f（x）=x3-ax2-x+b（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，求a、b的值（2）若f（x）在（0，1）内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，
则切线的斜率k=3，切点坐标为（1，7），
∵f（x）=x³-ax²-x+b，
∴f′（x）=3x²-2ax-1，
则

f(1)＝1?a?1+b＝7 f′(1)＝3?2a?1＝3

，
解得a=?

1

2

，b=

13

2

．
（2）若f（x）在（0，1）内单调递减，
则f′（x）=3x²-2ax-1≤0在（0，1）内恒成立，
即3x²-1≤2ax，
即2a≥3x?

1

x

，
∵y=3x-

1

x

在（0，1）是增函数，
∴y=3x-

1

x

＜3-1=2，
则2a≥2，即a≤1，
则实数a的取值范围a≤1．