Question

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．（1

已知函数f（x）=13x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[-2，4]上的最大值．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a²-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²+

8

3

，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=

8

3

，f（2）=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．

Answer 2

（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴f（1）=2，
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a²-1+b，
又f′（1）=-1，
∴a²-2a+1=0，
解得a=1，b=

8

3

．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x²+

8

3

，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．
∵f（0）=

8

3

，f（2）=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在区间[-2，4]上的最大值为8．