Question

已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x

已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．   …（3分）
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函数．                                  …（6分）
∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．  …（7分）
（2）g(x)＝x|x?a|+2x+1＝

x2+(2?a)x+1，x≥a ?x2+(2+a)x+1，x＜a

在R上恒为增函数，…（8分）
∴y=x²+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x²+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分）
∴

? 2?a 2 ≤a 2+a 2 ≥a

，…（14分）
∴-2≤a≤2．                                          …（15分）