Question

（2014?门头沟区二模）如图，线段BC切⊙O于点C，以AC为直径，连接AB交⊙O于点D，点E是BC的中点，交AB于点

（2014?门头沟区二模）如图，线段BC切⊙O于点C，以AC为直径，连接AB交⊙O于点D，点E是BC的中点，交AB于点D，连结OB、DE交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=43，求EFFD的值．

Answer 1

解答：（1）证明：连结OD、CD，如图．
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°．   
∵点E是BC的中点，
∴DE=BE=EC．
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°．
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切线；

（2）解：连结OE．则OE∥AB，OE=

1

2

AB，
∴△OEF∽△BDF，
∴

EF

FD

=

OE

BD

．
∵BC切⊙O于点C，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，AC=4，BC=4

3

，
根据勾股定理得，AB=8，
∴OE=4，
∵∠A=60°，
∴△AOD是边长为2的等边三角形，
∴AD=2，BD=AB-AD=6，
∴

EF

FD

＝

OE

BD

＝

4

6

＝

2

3

．