Question

P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆

P是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为 x245+y220=1x245+y220=1．

Answer 1

因为P到两准线距离分别为6、12，不妨设P到左准线距离为6，那么12+6=2

a2

c

，即

a2

c

=9
因为椭圆上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率e，
所以|PF₁|=6e，|PF₂|=12e
又因为PF₁垂直于PF₂，
所以|F₁F₂|²=（6e）²+（12e）²=180e²=4c²，
所以a²=45
由

a2

c

=9得c=5，
∴b²=a²-c²=20
因此，椭圆方程为

x2

45

+

y2

20

=1
故答案为

x2

45

+

y2

20

=1