Question

大一高数微分方程

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Answer 1

第2题：
令y＝u（x－2），则：dy/dx＝（x－2）du/dx＋u。
∴原微分方程可变成：（x－2）［（x－2）du/dx＋u］＝u（x－2）＋2（x－2）^3，
∴［（x－2）^2］du/dx＋u（x－2）＝u（x－2）＋2（x－2）^3，
∴［（x－2）^2］du/dx＝2（x－2）^3，
∴du/dx＝2（x－2），
∴u＝2∫（x－2）dx＝2∫（x－2）d（x－2）＝（x－2）^2＋C，
∴u（x－2）＝（x－2）^3＋C（x－2），
∴y＝（x－2）^3＋C（x－2）。
∴原微分方程的通解为：y＝（x－2）^3＋C（x－2），其中C为任意常数。

第3题：
令x/y＝u，则：x＝yu，∴dx＝udy＋ydu。
∴原微分方程可变成：（1＋2e^u）（udy＋ydu）＋2e^u·（1－u）dy＝0，
∴（1＋2e^u）udy＋（1＋2e^u）ydu＋2e^udy－2ue^udy＝0，
∴udy＋2e^udy＋（1＋2e^u）ydu＝0，
∴（1/y）dy＝－［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du，
∴∫（1/y）dy＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du，
∴lny＝－∫［（1＋2e^u）/（u＋2e^u）］du＝－∫［1/（u＋2e^u）］d（u＋2e^u），
∴lny＝－ln（u＋2e^u）＋C，
∴ln［（u＋2e^u）y］＝C，
∴（u＋2e^u）y＝C，
∴［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C。
∴原微分方程的通解是：［x/y＋2e^（x/y）］（x/y）＝C，其中C的任意常数。