Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有 f(m)+f(n)

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有 f(m)+f(n) m+n ＞0 ，若f（x）≤t 2 -2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

任取-1≤x 1 ＜x 2 ≤1，则 f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ）= f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 - x 2 ?（x 1 -x 2 ） ∵-1≤x 1 ＜x 2 ≤1，∴x 1 +（-x 2 ）≠0， 由已知 f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 - x 2 ＞0，又x 1 -x 2 ＜0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 所以f（x）在[-1，1]上为增函数． ∵f（1）=1，∴对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1． 所以要使f（x）≤t 2 -2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立， 即要t 2 -2at+1≥1成立，故t 2 -2at≥0成立． ∵t∈[0，1]， ∴t≠0时2a≤t，即a≤ t 2 ，解得a∈（-∞，0]． t=0时，a∈R， 综上，a∈（-∞，0]． 故答案为：（-∞，0]．