Question

已知关于x的不等式k?4 x -2 x+1 +6k＜0（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log 2 3}，求实数k的值；（2）若不

已知关于x的不等式k?4 x -2 x+1 +6k＜0（1）若不等式的解集A={x|1＜x＜log 2 3}，求实数k的值；（2）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log 2 3}，求实数k的取值范围；（3）若不等式的解集A?{x|1＜x＜log 2 3}，求实数k的取值范围；（4）若不等式的解集A∩{x|1＜x＜log 2 3}≠?，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得，2和3是相应方程kt 2 -2t+6k=0的两根且k＞0，k= 2 5 （2）∵A?{x|1＜x＜log 2 3}，∴A?{x|2＜t＜3}且A中的元素t＞0 令f（t）=kt 2 -2t+6k， 当k＞0时，则有 f（2）≤0，f（3）≤0 解得0＜k≤ 2 5 当k=0时，A={t|t＞0}显然满足条件 当k＜0时，由于x= 1 k ＜0 ，则只要 f(2)≤0 f(3)＜0 ，此时可得k＜0 综上可得a ≤ 2 5 （3）对应方程的△=4-24k 2 ，令f（t）=kt 2 -2t+6k 则原问题等价于△≤0或 f（2）≥0，f（3）≥0， 2≤ 1 k ≤3 又k＞0，∴k≥ 6 6 由 f（2）≥0，f（3）≥0，2≤ 1 k ≤3解得 2 5 ≤k≤ 1 2 综上，符合条件的k的取值范围是[ 2 5 ，+∞） （4）当A∩{t|2＜t＜3}=?时可得 若k=0，A={t|t＞0}，符合条件 若k＞0可得 f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≤2 或 f(2)≥0 f(3)≥0 1 k ≥3 解不等式组可得， k≥ 1 2 或k不存在 即k ≥ 1 2 时，A∩{t|2＜t＜3}=? 0＜k＜ 1 2 时A∩{t|2＜t＜3}≠? 若k＜0可得，结合二次函数的图象可知A∩{t|2＜t＜3}≠? 综上可得， k＜ 1 2