Question

函数f(x)=ax 3 +3x 2 +3x(a≠0).（1）讨

函数f(x)=ax 3 +3x 2 +3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.

Answer 1

（1）a≥1时，在（- ，+ ）是增函数；0<a<1时, f（x）在（－ ，x 2 ），（x 1 ，+ ）上是增函数；f（x）在（x 2 ，x 1 ）上是减函数；（2）

试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出是 或 的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使 成立的条件，并求出参数a的取值范围即可 试题解析：（1） ， 的判别式△=36（1-a）. （i）若a≥1，则 ，且 当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数. （ii）由于a≠0，故当a<1时， 有两个根： ， 若0<a<1,则当x∈（－ ，x 2 ）或x∈（x 1 ，+ ）时， ，故f（x）在（－ ，x 2 ），（x 1 ，+ ）上是增函数； 当x∈（x 2 ，x 1 ）时， ，故f（x）在（x 2 ，x 1 ）上是减函数； （2）当a>0，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当 且 ，解得 . 综上，a的取值范围是 .

Answer 2

（Ⅰ）函数f（x）=ax³+3x²+3x，∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，则△=36（1-a）
①若a＞1时，则△＜0，f′（x）＞0，∴f（x）在R上是增函数；