Question

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°
∴∠1+∠4=135°
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BEM∽△CNE；

（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴

BE

CN

＝

EM

NE

，
又∵BE=EC，
∴

EC

CN

＝

EM

NE

，
∴

EC

EM

＝

CN

NE

，
又∵∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．