Question

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方

对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心．请你将这一发现作为条件．（1）函数f（x）=x3-3x2+3x的对称中心为______．（2）若函数g（x）=13x3-12x2+3x-512，则9i＝1g（i10）=______．

Answer 1

（1）依题意，f'（x）=3x²-6x+3，
∴f''（x）=6x-6．
由f''（x）=0，即6x-6=0，解得x=1，
又 f（1）=1，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐点”坐标是（1，）．
∴函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为（1，1）；
故答案为：（1，1）；
（2）由题意，g′（x）=x²-x+3，∴g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，解得x=

1

2

，
又g（

1

2

）=1，∴函数g（x）的对称中心为（

1

2

，1），
∴g（

1

10

）+g（

9

10

）=2，g（

2

10

）+g（

8

10

）=2，
  g（

3

10

）=g（

7

10

）=2，g（

4

10

）+g（

6

10

）=2，
∴

9

i＝1

g(

i

10

)=4×2+1=9，
故答案为：9．