Question

（2014?重庆）如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（2014?重庆）如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）由抛物线的解析式y=-x²+2x+3，
∴C（0，3），
令y=0，-x²+2x+3=0，解得x=3或x=-1；
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

3k+b＝0 b＝3

，解得

k＝?1 b＝3

，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3．
设P（x，-x+3），则M（x，-x²+2x+3），
∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x．
∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=

1

2

PM?（xP-xC）+

1

2

PM?（xB-xP）=

1

2

PM?（xB-xC）=

3

2

PM．
∴S_△BCM=

3

2

（-x²+3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

．
∴当x=

3

2

时，△BCM的面积最大．
此时P（

3

2

，

3

2

），∴PN=ON=

3

2

，
∴BN=OB-ON=3-

3

2

=

3

2

．
在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=