Question

（2014?宁波二模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是

（2014?宁波二模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线l1，l2交于点F，其斜率k1，k2满足k1k2=-34．设l1交椭圆Γ于A、C两点，l2交椭圆Γ于B、D两点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）写出线段AC的长|AC|关于k1的函数表达式，并求四边形ABCD面积S的最大值．

Answer 1

（本题满分15分）
解：（Ⅰ）设右焦点F（c，0）（其中c＝

a2?b2

），
依题意

c

a

＝

1

2

，a+c=3，
解得a=2，c=1．…（3分）
∴b＝

a2?c2

＝

3

，
∴椭圆Γ的方程是

x2

4

+

y2

3

＝1．    …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1，0）．
将通过焦点F的直线方程y=k（x-1）代入椭圆Γ的方程

x2

4

+

y2

3

＝1，
得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
其判别式△=（8k²）²-16（k²-3）（3+4k²）=144（k²+1）．
特别地，对于直线l₁，若设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则|AC|＝

(x2?x1)2+(y2?y1)2

＝

1+ k 2 1

|x1?x2|