Question

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．（1）△AEF与△ECF是否相

已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）．（1）△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设 AB BC =k ，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）△AEF ∽ △ECF．证明如下： 延长FE与CD的延长线交于G， ∵E为AD的中点，AE=DE，∠AEF=∠GED， ∴Rt△AEF≌Rt△DEG． ∴EF=EG． ∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°， ∴Rt△EFC≌Rt△EGC． ∴∠AFE=∠EGC=∠EFC． 又∵∠A=∠FEC=90°， ∴Rt△AEF ∽ Rt△ECF． （2）设AD=2x，AB=b，DG=AF=a，则FB=b-a， ∵∠GEC=90°，ED⊥CD， ∴ED 2 =GD?CD ∴x 2 =ab， 假定△AEF与△BFC相似，则有两种情况： 一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此种情况是不成立的． 二是∠AFE=∠BFC． 根据△AEF ∽ △BCF， 于是： AF AE = BF BC ，即 a x = b-a 2x ，得b=3a． 所以x 2 =ab=3a 2 ，因此x= 3 a， 于是k= AB BC = b 2x = 3a 2 3 a = 3 2 ．