Question

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）= x 3 + x 2 [ m 2 +f′(x)] 在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= a(1-x) x ， 当a＜0时，令f′（x）= a(1-x) x ＞0，即 1-x x ＜0，解得增区间为（1，+∞）， 减区间为（0，1）； 当a＞0时，令f′（x）= a(1-x) x ＞0，即 1-x x ＞0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）， 当a=0时，f（x）不是单调函数； （II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°， ∴f′（2）= a(1-2) 2 =tan45°=1， ∴a=-2， f′（x）= -2(1-x) x = 2(x-1) x ， g（x）=x 3 +x 2 （ m 2 + 2(x-1) x ）=x 3 +（ m 2 +2）x 2 -2x， g′（x）=3x 2 +（m+4）x-2， ∵g′（0）=-2＜0，要使函数g（x）=x 3 +x 2 [ m 2 +f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值， 只需 g′(2)＜0 g′(3)＞0 ， 解得- 37 3 ＜m＜-9；