Question

在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，求证：BC=CD；（2）

在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，求证：BC=CD；（2）如图2，若AB+AD=AC，求∠BCD的度数；（3）如图3，当∠BAD=120°时，请判断AB、AD与AC之间的数量关系？并加以证明．

Answer 1

解答：解（1）如图1，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M；作CN⊥AD，垂足为N；
∵AC平分∠DAB，∴CM=CN；
又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MBC+∠ADC=180°；
∴∠NDC=∠MBC，
 在△NDC与△MBC中，∵

∠DNC＝∠BMC ∠NDC＝∠MBC CN＝CM

；
∴BC=DC；

（2）如图2，延长AB到E，使BE=AD；
∵AB+AD=AC，∴AE=AC；
由（1）知∠ADC=∠EBC；在△ADC与△EBC中，
∵

DC＝BC ∠ADC＝∠ AD＝BE

EBC，∴△ADC≌△EBC，故AC=EC；
又∵AE=AC，∴AE=AC=EC，
故△AEC为等边三角形，∠CAB=60°；
∴∠BAD=120°，∠BCD=360°-180°-120°=60°，
即∠BCD=60°．

（3）若AB=AD；在△ADC与△ABC中，
∵

AD＝AB ∠DAC＝∠BAC AC＝AC

，∴△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠ABC=

1

2

×180°＝90°，
故∠DCA=90°-60°=30°，
∴AC=2AD；而AD+AB=2AD，
∴AC=AD+AB；
若AD＞AB；如图2，延长AB到E，使BE=AD；
由（2）可知△ADC≌△EBC，
∴∠E=∠DAC=60°；而∠CAB=60°，
∴△CAE是等边三角形，故AC=AE；
而AE=AB+BE=AB+AD，
∴AC=AD+AB；
综上所述，当∠BAD=120°时，AC=AD+AB．