Question

已知圆M：（x+1） 2 +y 2 =1，圆N：（x-1） 2 +y 2 =9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线

已知圆M：（x+1） 2 +y 2 =1，圆N：（x-1） 2 +y 2 =9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）圆M：（x+1） 2 +y 2 =1，圆N：（x-1） 2 +y 2 =9， 设动圆P半径为R． ∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3 动圆P与圆M外切，则PM=1+R， 动圆P与圆N内切，则PN=3-R， ∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值． ∴P是以M、N为焦点的椭圆． ∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点， ∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1， ∴b 2 =a 2 -c 2 =4-1=3， ∴C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 （x≠2）； （2）证明：联立 x 2 4 + y 2 3 =1 y=kx+m ，得（k 2 +3）x 2 +2kmx+m 2 -12=0． 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， x 1 + x 2 =- 2km k 2 +3 ， x 1 x 2 = m 2 -12 k 2 +3 ， y 1 y 2 =（kx 1 +m）（kx 2 +m） = k 2 x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 = k 2 ? m 2 -12 k 2 +3 +km?(- 2km k 2 +3 )+ m 2 = 3 m 2 -12 k 2 k 2 +3 ． 设右顶点S（2，0）， 则 SA =( x 1 -2， y 1 )， SB =( x 2 -2， y 2 ) ， 又以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点， ∴ SA ? SB =0 ， 即（x 1 -2）（x 2 -2）+y 1 y 2 =0，x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4+y 1 y 2 =0． ∴ m 2 -12 k 2 +3 -2?(- 2km k 2 +3 )+4+ 3 m 2 -12 k 2 k 2 +3 =0 ， 整理得：（m-k）（m+2k）=0， ∴k=m或k=- m 2 ． 当k=m时，直线l为y=mx+m=m（x+1），直线过定点（-1，0）； 当k=- m 2 ，直线l为 y=- m 2 x+m=m(- x 2 +1) ，直线过定点（2，0），不合题意． ∴直线l过定点（-1，0）．