Question

（2014?丹徒区二模）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接B

（2014?丹徒区二模）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线；（2）求证：FD=FG．（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．

（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．

（3）∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S_△ADG=2S_△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴

S△BCG

S△ADG

=(

CG

DG

)2，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S_△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．