Question

（2010?长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=82cm，OC=8cm，现有两动点

（2010?长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=82cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=14x2+bx+c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Answer 1

（1）解：∵CQ=t，OP=

2

t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S_△OPQ=

1

2

(8?t)?

2

t＝?

2

2

t2+4

2

t（0＜t＜8）；（3分）

（2）证明：∵S_{四边形OPBQ}=S_矩形ABCO-S_△CBQ-S_△PAB
=8×8

2

?

1

2

×8

2

t?

1

2

×8×(8

2

?

2

t)=32

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