Question

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）若AC=AA1=BC=2，∠A1AC=60°，求三棱锥A1-ABC的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：因为∠ACB=90°，
所以 AC⊥BC，
又侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，
且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
BC?平面ABC，
所以 BC⊥平面ACC₁A₁，
又AA₁?平面ACC₁A₁，
所以 BC⊥AA₁．
（Ⅱ）证明：设A₁B与AB₁的交点为O，连接OD，
在△A₁BC中，O，D分别为A₁B，BC的中点，
所以 OD∥A₁C，
又 OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
所以 A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥平面ACC₁A₁，
所以三棱锥A₁-ABC的体积为

1

3

S△_ACA1?BC．
又 AC=AA₁=2，∠A₁AC=60°，
所以 S△_ACA1=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
所以 

1

3

S△_ACA1?|BC|=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．
三棱锥A₁-ABC的体积等于

2 3

3

．