Question

已知函数f（x）=|x|（a-x），a∈R．（1）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．（2

已知函数f（x）=|x|（a-x），a∈R．（1）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．（2）对于确定的正数b，不等式|x|（a-x）≤b，对x∈[-1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意原函数化为f（x）=-x²+ax，该函数图象开口向下，对称轴为x=

a

2

，
故其在（-∞，

a

2

）递增，在[

a

2

，+∞）上递减，所以要使函数在x∈[0，2]上是单调函数，
只需

a

2

≤0或

a

2

≥2，解得a≤0或a≥4，
即a的范围是a≤0或a≥4．
（2）由题意①x=0时，b≥0显然成立，此时a∈R，
②当x≠0时，原式可化为：a≤x+

b

|x|

，x∈[-1，2]恒成立，
若x∈[-1，0），则a≤x?

b

x

，函数y=x?

b

x

在[-1，0）上是增函数，所以只需a≤（x?

b

x

）_min=-1+b；
若x∈（0，2]，则a≤x+

b

x

，函数y=x+

b

x

在（0，

b

）递减，在[

b

，+∞）上递增，
因此若

b

≥2，即b≥4时，y=x+

b

x

在（0，2]递减，所以a≤（x+

b

x

）_min=2+

b

2

，
若

b

＜2，即0＜b＜4时，y=x+

b

x

在（0，

b

]上递减，在（

b

，2]上递增，此时a≤(x+

b

x

)min=2

b

综合①②可知当b≥4时，y=x+

b

|x|

在[-1，2]的最小值为b-1，所以此时a≤b-1；
当0＜b＜4时，b-1-2

b

=（

b

?1）²-2＜0恒成立，所以此时函数y=x+

b

|x|

在[-1，2]的最小值也是b-1，故a≤b-1；
因此a≤b-1即为所求．