在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求角C
在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求角C的大小;(2)求sinA?sinB的最大值...
在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB.(1)求角C的大小;(2)求sinA?sinB的最大值.
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(1)由正弦定理化简(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,得:(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得:a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cosC=
=
,
∵C为三角形内角,
∴C=
;
(2)由(1)得A+B=
,即B=
-A,
则sinA?sinB=sinAsin(
-A)
=sinA(
cosA+
sinA)
=
sinAcosA+
sin2A
=
sin2A+
=
sin(2A-
)+
,
∵A∈(0,
),∴2A-
∈(-
,
),
∴当2A-
=
,即A=
时,sinA?sinB有最大值
.
整理得:a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2 |
2ab |
1 |
2 |
∵C为三角形内角,
∴C=
π |
3 |
(2)由(1)得A+B=
2π |
3 |
2π |
3 |
则sinA?sinB=sinAsin(
2π |
3 |
=sinA(
| ||
2 |
1 |
2 |
=
| ||
2 |
1 |
2 |
=
| ||
4 |
1-cos2A |
4 |
=
1 |
2 |
π |
6 |
1 |
4 |
∵A∈(0,
2π |
3 |
π |
6 |
π |
6 |
7π |
6 |
∴当2A-
π |
6 |
π |
2 |
π |
3 |
3 |
4 |
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