Question

2010年10月11日，我国成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，已知月球

2010年10月11日，我国成功发射了“嫦娥二号”探月卫星，卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0，（1）试推导卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式；（2）地球和月球的半径之比为RR0＝4，表面重力加速度之比gg0＝6，求地球和月球的密度之比；（3）绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比．

Answer 1

（1）“嫦娥一号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r   ①
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式：

GMm

R 2 0

═mg₀  ②
卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，所以T=

t

n

  ③
r=R₀+h   ④
由①②③④解得：h=

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

?R0
（2）在星球表面，根据万有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg⑤
ρ=

M′

V

  ⑥
已知地球和月球的半径之比为

R

R0

＝4，表面重力加速度之比

g

g0

＝6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
（3）根据万有引力提供向心力列出等式：

GMm

r2

=m

v2

r

根据万有引力等于重力列出等式：

GMm

r2

=mg
v=

gr

已知地球和月球的半径之比为

R

R0

＝4，表面重力加速度之比

g

g0

＝6，
所以绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比：

1

2 6

．
答：（1）卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式为

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

?R0
（2）地球和月球的密度之比为

3

2

．
（3）绕月卫星的最大速度与绕地卫星的最大速度之比为

1

2 6

．