Question

（2012?徐汇区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．（1

（2012?徐汇区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D，E分别是BC，AP的中点．（1）求异面直线AC与ED所成的角的大小；（2）求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

Answer 1

解答：解（1）解法一：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．
由已知，AC＝EA＝AD＝1 ， AB＝

3

 ， PB＝

7

，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．
在Rt△EFD中，DF＝

1

2

 ， ED＝

2

，cos∠EDF＝

2

4

．
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos

2

4

（arctan

7

)．
解法二：建立空间直角坐标系，C(1 ， 0 ， 0) ， D (

1

2

 ， 

3

2

 ， 0)，E（0，0，1），

AC

＝(1 ， 0 ， 0 ) ， 

ED

＝(

1

2

 ， 

3

2

 ， ?1)
PCDEcosθ＝

1 2

2

＝

2

4

，
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos

2

4

．
（2）△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥，体积V＝

1

3

π?1?2?

1

3

π?1?1＝

1

3

π．