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(2012?徐汇区一模)如图,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点.(1
(2012?徐汇区一模)如图,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点.(1)求异面直线AC与ED所成的角的大小;...
(2012?徐汇区一模)如图,已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点.(1)求异面直线AC与ED所成的角的大小;(2)求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积.
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解答:解(1)解法一:取AB中点F,连接DF,EF,则AC∥DF,
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角.
由已知,AC=EA=AD=1 , AB=
, PB=
,∵AC⊥EF,∴DF⊥EF.
在Rt△EFD中,DF=
, ED=
,cos∠EDF=
.
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
(arctan
).
解法二:建立空间直角坐标系,C(1 , 0 , 0) , D (
,
, 0),E(0,0,1),
=(1 , 0 , 0 ) ,
=(
,
, ?1)
PCDEcosθ=
=
,
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
.
(2)△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体,是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥,体积V=
π?1?2?
π?1?1=
π.
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角.
由已知,AC=EA=AD=1 , AB=
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在Rt△EFD中,DF=
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所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
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解法二:建立空间直角坐标系,C(1 , 0 , 0) , D (
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AC |
ED |
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PCDEcosθ=
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所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
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(2)△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体,是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥,体积V=
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