（2008?徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45．点P、Q分别是AC、BA边上的动点，且AP
（2008?徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45．点P、Q分别是AC、BA边上的动点，且AP=BQ=x．（1）若△APQ的面积是y...
（2008?徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=45．点P、Q分别是AC、BA边上的动点，且AP=BQ=x．（1）若△APQ的面积是y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当△APQ为等腰三角形时，求x的值；（3）如果点R是AC边上的动点，且CR=AP=BQ=x，那么是否存在这样的x，使得∠PQR=90°？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
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解答：
解：（1）过点Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=
=
，
∴QM=
AQ=
（10-x），
∴y=
AP?QM=
x?
（10-x）=-
x2+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=
，
∴BC=AB?sinA=10×
=6，
∴AC=
＝
=8，
∴自变量x的取值范围为：0＜x≤8；
（2）分三种情况：①当AP=AQ时，有x=10-x，
∴x=5；
②当AP=PQ时，过点P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=
，
∴cosA=
，
∵AN=
AQ=
，
∴
＝
x，
解得：x=
；
③当AQ=PQ时，过点Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即
＝
(10?x)，
解得x＝
；
综合①、②、③，x=5或
或
．
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，过点Q作RN⊥AB于N，
当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴
＝
，
∵RN=
AR=
（AC-CR）=
（8-x），PM=
AP=
x，QN＝10?AQ?BN＝
x?
，QM＝AQ?AM＝10?
x，
∴
＝
，
化简，得6x2-49x+90=0解得x＝
；
反之，当AP＝BQ＝CR＝
时，过点P作PM⊥AB于M过点Q作RN⊥AB于N
∵RN＝
(8?x)＝
，QM＝10?
x＝
，QN＝
x?
＝
，PM＝
x＝
．
∴
＝
解：（1）过点Q作QM⊥AC于M，在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=
| QM |
| AQ |
| 3 |
| 5 |
∴QM=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=
| BC |
| AC |
∴BC=AB?sinA=10×
| 3 |
| 5 |
∴AC=
| AB2?BC2 |
| 102?62 |
∴自变量x的取值范围为：0＜x≤8；
（2）分三种情况：①当AP=AQ时，有x=10-x，∴x=5；
②当AP=PQ时，过点P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=
| 3 |
| 5 |
∴cosA=
| 4 |
| 5 |
∵AN=
| 1 |
| 2 |
| 10?x |
| 2 |
∴
| 10?x |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得：x=
| 50 |
| 13 |
③当AQ=PQ时，过点Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即
| x |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
解得x＝
| 80 |
| 13 |
综合①、②、③，x=5或
| 50 |
| 13 |
| 80 |
| 13 |
（3）存在这样的x，使得∠PQR=90°，理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，过点Q作RN⊥AB于N，
当∠PQR=90°时，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴
| RN |
| QN |
| QM |
| PM |
∵RN=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴
| ||||
|
10?
| ||
|
化简，得6x2-49x+90=0解得x＝
49±
| ||
| 12 |
反之，当AP＝BQ＝CR＝
49+
| ||
| 12 |
∵RN＝
| 4 |
| 5 |
23?
| ||
| 15 |
| 9 |
| 5 |
53?3
| ||
| 20 |
| 8 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
44+2
| ||
| 15 |
| 3 |
| 5 |
49+
| ||
| 20 |
∴
| RN |
| QM |
| 31+ |
